{"id":161,"date":"2020-03-20T10:56:14","date_gmt":"2020-03-20T09:56:14","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=161"},"modified":"2020-05-07T13:55:14","modified_gmt":"2020-05-07T11:55:14","slug":"la-gamme-chromatique","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=161","title":{"rendered":"La gamme chromatique"},"content":{"rendered":"\n

J’aimerais examiner en d\u00e9tail la construction de la gamme chromatique et les probl\u00e8mes d’intonation qu’elle pose, \u00e0 l’aide de la repr\u00e9sentation ci-dessous. <\/p>\n\n\n\n

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Figure 1: La gamme chromatique et le probl\u00e8me de l’intonation. L’\u00e9chelle horizontale repr\u00e9sente les fr\u00e9quences espac\u00e9es logarithmiquement, l’\u00e9chelle verticale la consonance relative au do<\/strong> (les plus petits d\u00e9nominateurs sont en haut de l’\u00e9chelle). Les bandes grises repr\u00e9sentent $\\pm 15$ cents autour des notes temp\u00e9r\u00e9es. Les lignes noires verticales sont tous les rapport rationnels de d\u00e9nominateur inf\u00e9rieur \u00e0 $19$.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Les 12 demi-tons divisent l’octave en 12 intervalles \u00e9gaux sur une \u00e9chelle logarithmique (axe horizontal de la figure). Comme illustration, je prends une fr\u00e9quence arbitraire que j\u2019appelle do<\/strong>$_0$ et les fr\u00e9quences successives $2^{1\/12}$ plus \u00e9lev\u00e9es (environ 6%) jusqu’\u00e0 la fr\u00e9quence double: le do<\/strong>$_1$ \u00e0 l’octave. Les zones grises autour de chaque demi-ton repr\u00e9sentent un \u00e9cart de \u00b115 cents<\/a>: ce sont les notes “accessibles” (pour les instruments \u00e0 cordes, \u00e0 vent, les chanteurs, etc.). Chaque ligne noire verticale indique un intervalle consonant par rapport au do<\/strong>$_0$ grave: plus la ligne monte haut plus l’intervalle est consonant (l’axe vertical repr\u00e9sente le d\u00e9nominateur du rapport des fr\u00e9quences). Les intervalles “justes”<\/a> sont indiqu\u00e9s par les tirets bleus. Les harmoniques<\/a> de do<\/strong> sont indiqu\u00e9es par des tirets rouges (plus petits si la fondamentale correspondante est plus grave).<\/p>\n\n\n\n

Par exemple, la quinte (sol<\/strong>) chromatique (temp\u00e9r\u00e9e) est \u00e0 la fr\u00e9quence $2^{7\/12}\\approx 1.4983$, ce qui est tr\u00e8s proche de la quinte juste (rapport de $3\/2=1.5$) qui est aussi une harmonique du do<\/strong>$_{-1}$ une octave plus bas. On constate qu’il n’y a aucun autre intervalle consonant dans le voisinage de ce sol<\/strong> et que ce rapport de $3\/2$ est le plus consonant de tous. On en d\u00e9duit que la quinte est non ambigu\u00eb (facile \u00e0 chanter) et consonante (dans un rapport de fr\u00e9quences tr\u00e8s simple).<\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8re remarque g\u00e9n\u00e9rale: les harmoniques (rouge) ne tombent pas toujours sur des intervalles justes (bleu). Il y a bien un rapport entre s\u00e9rie harmonique et impression de consonance, mais ces harmoniques ne fournissent pas les notes de la gamme de mani\u00e8re directe. Observez en particulier la quarte juste (fa<\/strong>): c’est un intervalle non ambigu et consonant mais il ne se trouve pas dans la s\u00e9rie harmonique (sauf bien s\u00fbr comme compl\u00e9mentaire de la quinte juste: intervalle du sol<\/strong> au do<\/strong> dans la s\u00e9rie harmonique de do<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n

Examinons maintenant quelques situation musicalement instructives: la tierce majeure (mi<\/strong>) est proche de deux intervalles consonants: $5\/4$ qui est nettement plus bas ($13.69$ cents) et $19\/15$ ($9.24$ cents plus haut). On en d\u00e9duit que la tierce majeure sonne mal sur un clavier (car l’intervalle temp\u00e9r\u00e9 est loin des intervalles justes), elle est tr\u00e8s consonante (d\u00e9nominateur $4$) mais l\u00e9g\u00e8rement ambigu\u00eb (difficile \u00e0 acc\u00e9der et en conflit avec un autre intervalle moins consonant: d\u00e9nominateur $15$). A l’autre extr\u00e9mit\u00e9, la seconde mineure (do#<\/strong>) n’a que des intervalles peu consonants \u00e0 proximit\u00e9 (d\u00e9nominateurs plus grands que $15$). Le r\u00f4le de cet intervalle dans la gamme est purement m\u00e9lodique (par sym\u00e9trie) et non harmonique. Un autre cas int\u00e9ressant est celui de la sixte majeure: la<\/strong> (fr\u00e9quence $2^{9\/12}\\approx 1.68$) qui peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme proche du rapport $5\/3$, mais l’\u00e9cart est de $15.64$ cents, ce qui est \u00e0 la limite de l’atteignable selon les instruments. Encore plus probl\u00e9matique est la septi\u00e8me mineure la#<\/strong> ($2^{10\/12}\\approx 1.78$) qui est proche de plusieurs intervalles plut\u00f4t consonants: $9\/5,16\/9,23\/13,25\/14$, mais le meilleur ($9\/5$) est aussi le plus \u00e9loign\u00e9 ($17.60$ cents). Il y a donc une forte ambigu\u00eft\u00e9 sur cette note, ce qui signifie que le musicien aura des difficult\u00e9s \u00e0 trouver l’intervalle juste et sera attir\u00e9 par des intervalles moins harmoniques, mais plus proches.<\/p>\n\n\n\n

Pour illustrer ces difficult\u00e9s voici quelques intervalles mentionn\u00e9s ci-dessus:<\/p>\n\n\n\nTierce majeure<\/b>\n