{"id":196,"date":"2020-05-06T18:54:52","date_gmt":"2020-05-06T16:54:52","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=196"},"modified":"2021-01-14T17:17:08","modified_gmt":"2021-01-14T16:17:08","slug":"la-serie-harmonique","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=196","title":{"rendered":"La s\u00e9rie harmonique"},"content":{"rendered":"\n<p>Une onde sonore de hauteur m\u00e9lodique d\u00e9finie est une fonction p\u00e9riodique du temps $t$, correspondant \u00e0 un spectre $\\{\\alpha_n\\,:\\,n=1,2,\\dots\\}$ sur une fr\u00e9quence fondamentale $\\omega$:<br>$$\\phi_\\omega(t)\\,=\\,\\alpha_0+\\sum_{n=1,2,\\dots}\\alpha_n\\cos\\bigl(2\\pi n\\omega (t-\\tau_n)\\bigr)~.$$<br>La suite des fr\u00e9quences apparaissant dans cette formule s&#8217;appelle la s\u00e9rie harmonique: les fr\u00e9quences ${\\omega, 2\\omega, 3\\omega, 4\\omega, \\dots}$ se nomment la fondamentale ($n=1$), la premi\u00e8re harmonique ($n=2$), la deuxi\u00e8me harmonique ($n=3$), etc. On peut donc identifier chacune des composantes de l&#8217;onde \u00e0 une note suppl\u00e9mentaire comme dans la Figure 1.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" width=\"785\" height=\"125\" src=\"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/HarmonicSeries.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-384\" srcset=\"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/HarmonicSeries.png 785w, http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/HarmonicSeries-300x48.png 300w, http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/HarmonicSeries-768x122.png 768w, http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/HarmonicSeries-624x99.png 624w\" sizes=\"(max-width: 785px) 100vw, 785px\" \/><figcaption>La s\u00e9rie harmonique de <strong>do<\/strong>. Les nombres au-dessus de la port\u00e9e sont les <a href=\"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=194#pureInts\">\u00e9carts par rapport \u00e0 la note temp\u00e9r\u00e9e<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>C&#8217;est la fondamentale $\\omega$ qui donne son nom \u00e0 la note de musique, par exemple on appellera n&#8217;importe quelle onde sonore de fr\u00e9quence fondamentale $\\omega=440$ [Hz] un <strong>la<\/strong>, quels que soient les coefficients de la s\u00e9rie. Deux notes dont les fondamentales sont dans un rapport de $2$ ($\\omega_2=2\\cdot\\omega_1$) forment une octave et portent le m\u00eame nom. Ainsi les notes $\\omega = 110, 220, 440, 880$ [Hz] sont toutes des <strong>la<\/strong>. Remarquez que la s\u00e9rie harmonique de <strong>la<\/strong>$=880$ [Hz] est enti\u00e8rement contenue dans la s\u00e9rie harmonique de <strong>la<\/strong>$=440$ [Hz], de m\u00eame que pour les harmoniques de n&#8217;importe quelle autre note de la s\u00e9rie (par exemple <strong>mi<\/strong>$=1320$ [Hz] ou <strong>do\u266f<\/strong>$=2200$ [Hz]). Toutefois, ces notes seraient consid\u00e9r\u00e9es comme &#8220;fausses&#8221; dans un temp\u00e9rament \u00e9gal (qui prescrit <strong>mi<\/strong>$=1318.51$ [Hz],  <strong>do\u266f<\/strong>$=2217.46$ [Hz]).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Une onde sonore de hauteur m\u00e9lodique d\u00e9finie est une fonction p\u00e9riodique du temps $t$, correspondant \u00e0 un spectre $\\{\\alpha_n\\,:\\,n=1,2,\\dots\\}$ sur une fr\u00e9quence fondamentale $\\omega$:$$\\phi_\\omega(t)\\,=\\,\\alpha_0+\\sum_{n=1,2,\\dots}\\alpha_n\\cos\\bigl(2\\pi n\\omega (t-\\tau_n)\\bigr)~.$$La suite des fr\u00e9quences apparaissant dans cette formule s&#8217;appelle la s\u00e9rie harmonique: les fr\u00e9quences ${\\omega, 2\\omega, 3\\omega, 4\\omega, \\dots}$ se nomment la fondamentale ($n=1$), la premi\u00e8re harmonique ($n=2$), la deuxi\u00e8me [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[18,16,23],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/196"}],"collection":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=196"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/196\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":631,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/196\/revisions\/631"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=196"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=196"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=196"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}