Remarquez qu’en pratique on ne peut distinguer un rapport strictement irrationel d’un rapport dont le d\u00e9nominateur est grand, donc la distinction entre p\u00e9riodique (spectre discret harmonique) et quasi-p\u00e9riodique (spectre discret non harmonique) n’est pas essentielle.<\/p>\n\n\n\n
Lorsque les ondes poss\u00e8dent des harmoniques, on obtient la situation suivante (en notation complexe et sans les d\u00e9phasages $\\tau_n$): La Figure 1 ci-dessus illustre les diff\u00e9rents termes de cette d\u00e9composition pour trois spectres de fr\u00e9quences diff\u00e9rents (repr\u00e9sent\u00e9s sur la 1\u00e8re ligne, les fr\u00e9quences indiqu\u00e9es au-dessus correspondent \u00e0 une fondamentale \u00e0 440 [Hz]). Sur chaque panneau, la courbe noire repr\u00e9sente la somme de deux ondes de m\u00eame spectre et de fr\u00e9quence fondamentale 440 [Hz] (la<\/strong>) et 660 [Hz] (mi<\/strong>). Les lignes 2 et 3 montrent les ondes individuelles (en orange le la<\/strong>, plus grave, en rose le mi<\/strong>, plus aigu). Le terme principal est en rouge (4e ligne) avec l’enveloppe de fr\u00e9quence $660-440=220$ [Hz] en gris. Les termes de hautes fr\u00e9quences sont en bleu (5e ligne), et la somme des signaux bleu et rouge (6e ligne en violet) est bien \u00e9gale \u00e0 la courbe noire qui est la somme des deux ondes individuelles. La m\u00eame d\u00e9composition s’applique \u00e0 la superposition de deux notes proches (un la<\/strong> \u00e0 440 [Hz] et un la<\/strong> “d\u00e9saccord\u00e9” \u00e0 448 [Hz], Figure 2). On observe alors un battement \u00e0 8 [Hz].<\/p>\n\n\n\n Comme illustration pratique, remarquez que l’on peut d\u00e9duire l’\u00e9cart en cents entre deux notes en \u00e9coutant la fr\u00e9quence des battements qu’elles produisent. Par exemple deux notes \u00e0 $440$ [Hz] et $442$ [Hz] (7.85 cents d’\u00e9cart) produisent des battements de 5 dixi\u00e8mes de secondes.<\/p>\n\n\n\n Vous pouvez \u00e9couter les sons repr\u00e9sent\u00e9s dans la Figure 1 (2\u00e8me colonne, la<\/strong> 440 Hz et mi<\/strong> 660 Hz) et dans la Figure 2 (m\u00e9lange 440 Hz et 448 Hz) ci-dessous:<\/p>\n\n\n\n
\\begin{eqnarray*}
\\phi_{\\omega_1}(t)+\\phi_{\\omega_2}(t)&=&
\\sum_{n=0,1,2,\\dots}\\Bigl( \\alpha_ne^{2i\\pi n\\omega_1 t}+\\beta_ne^{2i\\pi n\\omega_2 t} \\Bigr)\\\\
&=&\\sum_{m=0}^\\infty e^{2i\\pi mp\\omega_1 t}
\\Bigl(\\alpha_{mp}+\\beta_{mq}+\\sum_{n=1}^{p-1}\\alpha_{mp+n}e^{2i\\pi n\\omega_1 t} +\\sum_{n=1}^{q-1}\\beta_{mq+n}e^{2i\\pi n\\omega_2 t}\\Bigl)
\\end{eqnarray*}
Chaque multiple $n\\frac pq$ peut \u00eatre d\u00e9compos\u00e9 en partie enti\u00e8re et fractionnelle:
$$
n\\frac pq\\,=\\,\\left[n\\frac pq\\right]+\\epsilon_n\\,=\\, k_n+\\frac{\\ell_n}q~,
$$
o\u00f9 $0<k_n<p$ et $0<\\ell_n<q$ sont des entiers. Donc on peut reformuler la derni\u00e8re somme ci-dessus comme:
\\begin{eqnarray*}
&&\\sum_{n=1}^{q-1}\\left( \\frac{\\ell_n}q\\beta_{mq+n}e^{2i\\pi\\frac{\\ell_n}q\\omega_1 t} e^{2i\\pi k_n\\omega_1 t} +\\frac{q-\\ell_n}q\\beta_{mq+n}e^{-2i\\pi\\frac{q-\\ell_n}q\\omega_1 t} e^{2i\\pi(k_n+1)\\omega_1 t} \\right)\\\\
&=&\\sum_{k=1}^{p-1}\\left(\\gamma_{mp+k}e^{2i\\pi\\frac{\\ell_{mp+k}}q\\omega_1 t} +\\gamma_{mp+k}’e^{-2i\\pi\\frac{\\ell_{mp+k}’}q\\omega_1 t}\\right) e^{2i\\pi k\\omega_1 t}~, \\end{eqnarray*}
o\u00f9 certains coefficients $\\gamma_n, \\gamma_n’$ et $\\ell_n, \\ell_n’$ sont nuls. Finalement on trouve:
\\begin{eqnarray*}
\\phi_{\\omega_1}(t)+\\phi_{\\omega_2}(t)
&=& \\sum_{n=0,1,2,\\dots}\\Bigl( \\alpha_n +\\gamma_ne^{2i\\pi\\frac{\\ell_n}q\\omega_1 t}+\\gamma_n’e^{-2i\\pi\\frac{\\ell_n’}q\\omega_1 t} \\Bigr)e^{2i\\pi n\\omega_1 t}~. \\end{eqnarray*}
Autrement dit chaque harmonique de la note grave est modul\u00e9e en amplitude et en phase avec des fr\u00e9quences multiples de $\\omega_1\/q$. Il existe d’ailleurs toujours certaines harmoniques dont la modulation est exactement \u00e0 la fr\u00e9quence $\\omega_1\/q$.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Beats_envelopes.png\")
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