{"id":431,"date":"2020-05-07T13:25:54","date_gmt":"2020-05-07T11:25:54","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=431"},"modified":"2020-05-07T13:25:55","modified_gmt":"2020-05-07T11:25:55","slug":"lharmonicite-dune-gamme","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=431","title":{"rendered":"L’harmonicit\u00e9 d’une gamme"},"content":{"rendered":"\n

Pour mesurer l’harmonicit\u00e9 d’une gamme<\/a>, on consid\u00e8re tous les intervalles qu’elle contient et on prend la somme de leurs d\u00e9nominateurs (voir dissonance et consonance<\/a>). On calcule le d\u00e9nominateur du rapport $f$ ainsi:
$$
\\mbox{den}(f)\\,=\\,\\min\\left\\{d\\in\\{2,\\dots,19\\}~:~
\\left|\\log_2\\left(\\frac{d\\cdot f}{[d\\cdot f]}\\right)\\right|<\\epsilon\\right\\}~,
$$
o\u00f9 $\\epsilon$ est la tol\u00e9rance de l’intonation (la largeur des aires grises dans cette figure<\/a>): $\\mbox{den}(f)$ est le plus petit d\u00e9nominateur parmi toutes les fractions \u00e0 une distance au plus $\\epsilon$ de $f$.<\/p>\n\n\n\n

On peut \u00e9galement d\u00e9finir une ambigu\u00eft\u00e9 de la mani\u00e8re suivante:
$$
w(f)\\,=\\,\\mbox{den}(f)\\Bigl\/\\sum\\left\\{d\\in\\{2,\\dots,19\\}~:~
\\left|\\log_2\\left(\\frac{d\\cdot f}{[d\\cdot f]}\\right)\\right|<\\epsilon\\right\\}
~,
$$
c’est une valeur entre $0$ et $1$, d’autant plus petite qu’il y a plus de fractions simples dans le voisinage de $f$.<\/p>\n\n\n\n

Enfin, l’indice d’harmonicit\u00e9 d’une gamme est calcul\u00e9 comme la moyenne de tous les d\u00e9nominateurs pond\u00e9r\u00e9s par leur ambigu\u00eft\u00e9:
$$
\\mathcal{H}(f_1,\\dots,f_{n-1})\\,=\\,\\frac
{\\sum_{k=1}^{n-1}w(f_k)\\mbox{den}(f_k)}
{\\sum_{j=1}^{n-1}w(f_j)}~.
$$
Puisqu’un plus petit d\u00e9nominateur implique une meilleure consonance, un plus petit indice $\\mathcal{H}$ signifie une plus grande consonance de la gamme.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Pour mesurer l’harmonicit\u00e9 d’une gamme, on consid\u00e8re tous les intervalles qu’elle contient et on prend la somme de leurs d\u00e9nominateurs (voir dissonance et consonance). On calcule le d\u00e9nominateur du rapport $f$ ainsi: $$ \\mbox{den}(f)\\,=\\,\\min\\left\\{d\\in\\{2,\\dots,19\\}~:~ \\left|\\log_2\\left(\\frac{d\\cdot f}{[d\\cdot f]}\\right)\\right|<\\epsilon\\right\\}~, $$ o\u00f9 $\\epsilon$ est la tol\u00e9rance de l’intonation (la largeur des aires grises dans cette figure): $\\mbox{den}(f)$ est […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[18,16],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/431"}],"collection":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=431"}],"version-history":[{"count":12,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/431\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":448,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/431\/revisions\/448"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=431"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=431"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=431"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}