{"id":449,"date":"2020-05-07T13:34:22","date_gmt":"2020-05-07T11:34:22","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=449"},"modified":"2021-01-14T13:48:26","modified_gmt":"2021-01-14T12:48:26","slug":"la-melodicite-dune-gamme","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=449","title":{"rendered":"La m\u00e9lodicit\u00e9 d’une gamme"},"content":{"rendered":"\n

La composition m\u00e9lodique exploite fr\u00e9quemment des relations de sym\u00e9trie telles que la r\u00e9p\u00e9tition d’un m\u00eame motif sous forme invers\u00e9e ou translat\u00e9e. Une gamme m\u00e9lodique doit donc permettre ces transformations. La plus simple des transformations est le d\u00e9calage d’une octave qui sera sans cons\u00e9quence sur la m\u00e9lodie, donc une gamme doit \u00eatre vue comme un ensemble infini:
$$
\\mathcal{S}\\,=\\,2^\\mathbb{Z}\\times\\{1,\\dots,f_{n-1}\\}~ .
$$
De plus il est souhaitable de pouvoir construire un motif m\u00e9lodique similaire \u00e0 partir de chaque note de la gamme, et de pouvoir l’inverser (remplacer les intervalles montants par l’\u00e9quivalent descendant). On peut r\u00e9sumer en disant qu’une gamme id\u00e9alement sym\u00e9trique satisfait:
\\begin{alignat*}{2}
\\mathcal{S}&=\\,f_k\\cdot\\mathcal{S}\\qquad&\\textit{(transposition)}~,\\\\
\\mathcal{S}&=\\,1\\bigl\/\\mathcal{S}\\qquad&\\textit{(inversion)}~.
\\end{alignat*}
On transforme en unit\u00e9s logarithmiques ($\\log_2$):
$$
\\mathcal{T}\\,=\\,{0,g_1,\\dots,g_{n-1}}+\\mathbb{Z}~ ,\\quad g_k\\,=\\,\\log_2f_k~,
$$
et l’on voit que pour satisfaire les sym\u00e9tries de transposition<\/em> et d’inversion<\/em>, les fr\u00e9quences logarithmiques $g_k$ doivent \u00eatre \u00e9quidistantes, autrement dit $g_k=k\/n$ (comme par exemple les demi-tons temp\u00e9r\u00e9s pour $n=12$) [Tymoczko (2012)<\/a>, Callender (2008)<\/a>].<\/p>\n\n\n\n

La distinction entre l’ensemble de toutes les notes disponibles (la gamme chromatique<\/a>) et la gamme particuli\u00e8re (par exemple une gamme diatonique<\/a>) est importante: la gamme chromatique poss\u00e8de les sym\u00e9tries ci-dessus, ce qui implique que l’on peut, par exemple transposer une gamme dans tous les tons. Mais il est \u00e9galement souhaitable que la gamme diatonique elle-m\u00eame poss\u00e8de des sym\u00e9tries partielles et ainsi offrir la possibilit\u00e9 de transposer et inverser des motifs \u00e0 l’int\u00e9rieur m\u00eame de la gamme (sans modulation).<\/p>\n\n\n\n

Notre indice de m\u00e9lodicit\u00e9 est donc d\u00e9fini comme l’\u00e9cart moyen \u00e0 la distribution \u00e9quidistante:
$$
\\mathcal{M}(f_1,\\dots,f_{n-1})\\,=\\,\\frac 1{n-1}
\\sum_{k=1}^{n-1}\\left|n\\log_2(f_k\/f_{k-1})-1\\right|~ .
$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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