{"id":474,"date":"2020-05-07T14:34:08","date_gmt":"2020-05-07T12:34:08","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=474"},"modified":"2020-05-07T14:34:09","modified_gmt":"2020-05-07T12:34:09","slug":"le-cycle-des-quintes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=474","title":{"rendered":"Le cycle des quintes"},"content":{"rendered":"\n

On a discut\u00e9 ci-dessus la gamme chromatique<\/a> comme “r\u00e9servoir” de notes dont on extrait les gammes. Mais pourquoi diviser l’octave en 12 demi-tons, plut\u00f4t que 9 (cf. la gamme pelog<\/a>), 20 (certaines gammes indiennes) ou, pour les amateurs de science-fiction, 42?<\/p>\n\n\n\n

Ce choix peut-\u00eatre justifi\u00e9 ainsi: on veut certainement inclure dans notre gamme l’intervalle de la quinte juste<\/a> (rapport $3\/2$) car il est le plus harmonique. Malheureusement on ne peut produire cette quinte \u00e0 l’aide d’une division \u00e9gale de l’octave car $$\\log_2(3\/2)=0.5849625007211\\dots$$ est un nombre irrationnel: aucune fraction enti\u00e8re de l’octave ne peut le repr\u00e9senter. On peut par contre trouver de bonnes approximations: $7\/12=0.58\\overline3, 31\/53=0.5849057\\dots, 86\/147=0.58503401\\dots$, etc. (voir ci-dessous). <\/p>\n\n\n\n

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Figure 1: Approximations successives de la quinte juste par des divisions enti\u00e8res de l’octave.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Pour chaque approximation, son erreur produit une “quinte du loup”: par exemple 12 quintes successives tombent $12\\log_2(3\/2)-7=0.01955\\dots$ ($23.46$ cents) plus haut que $7$ octaves. En accordant les $12$ demi-tons d’un instrument, ces $23.46$ cents doivent \u00eatre r\u00e9partis d’une mani\u00e8re ou d’une autre entre ces $12$ notes. Si, naturellement, on commence par do<\/strong> et on accorde chaque quinte successive vers le haut (sol<\/strong>, r\u00e9<\/strong>, la<\/strong>,…) et le bas (fa<\/strong>, si\u266d<\/strong>, mi\u266d<\/strong>,…) au rapport exact de $3\/2$, on termine avec un intervalle fa\u266f<\/strong>–do\u266f<\/strong> trop court de $23.46$ cents.<\/p>\n\n\n\n

On aurait pu diviser l’octave en 53 parts \u00e9gales et n’avoir qu’une erreur de 3.615 cents \u00e0 r\u00e9partir. La gamme indienne discut\u00e9e pr\u00e9c\u00e9demment<\/a> utilise pr\u00e9cis\u00e9ment certains intervalles tr\u00e8s proches de la fraction $1\/53$ de l’octave (mais tous ne sont pas autoris\u00e9s). D’un autre c\u00f4t\u00e9 la gamme pelog<\/a> est construite sur une division de l’octave en 9 parties qui ne donne qu’une mauvaise approximation de la quinte juste.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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