{"id":522,"date":"2021-01-11T12:00:21","date_gmt":"2021-01-11T11:00:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=522"},"modified":"2021-01-11T15:12:57","modified_gmt":"2021-01-11T14:12:57","slug":"decompositions-trigonometriques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/?p=522","title":{"rendered":"D\u00e9compositions trigonom\u00e9triques"},"content":{"rendered":"\n<p>On trouve fr\u00e9quemment dans la litt\u00e9rature la formule trigonom\u00e9trique suivante pour expliquer le ph\u00e9nom\u00e8ne des battements: $$\\cos(\\omega_1 t)+\\cos(\\omega_2 t)=2\\cos(\\frac{\\omega_1-\\omega_2}2 t)\\cos(\\frac{\\omega_1+\\omega_2}2t)~,$$ avec l&#8217;interpr\u00e9tation que le premier facteur est l'&#8221;amplitude&#8221; du battement (de fr\u00e9quence $\\Omega=(\\omega_1-\\omega_2)\/2$) qui module l&#8217;oscillation (le second facteur) de fr\u00e9quence $\\overline\\omega=(\\omega_1+\\omega_2)\/2$).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" width=\"1024\" height=\"341\" src=\"http:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/2CosTransformFr-1-1024x341.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-534\" srcset=\"https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/2CosTransformFr-1-1024x341.png 1024w, https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/2CosTransformFr-1-300x100.png 300w, https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/2CosTransformFr-1-768x256.png 768w, https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/2CosTransformFr-1-624x208.png 624w, https:\/\/www.jacques-rougemont.ch\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/2CosTransformFr-1.png 1200w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><figcaption>Figure du haut: les deux ondes avant superposition, $\\omega_1\/2\\pi=262$Hz, $\\omega_2\/2\\pi=393$Hz. Figure du bas: la superposition (en noir), l&#8217;enveloppe $|\\cos(\\Omega t)|$ (en bleu) et l&#8217;oscillation de  fr\u00e9quence $\\overline\\omega$ (turquoise). Les pointill\u00e9s turquoises indiquent l&#8217;oscillation invers\u00e9e lorsque $\\cos(\\Omega t)&lt;0$. Les tirets entre les deux figures visualisent la longueur d&#8217;onde de chaque courbe (dans une oscillation de la courbe bleue, il y a 3 oscillations vertes, 2 rouges et 2.5 turquoise). <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Cette formule est bien entendu math\u00e9matiquement correcte, mais pose un certain nombre de probl\u00e8mes dans son interpr\u00e9tation: <\/p>\n\n\n\n<ul><li>Il n&#8217;y a aucune g\u00e9n\u00e9ralisation naturelle de cette formule \u00e0 la somme de deux ondes d&#8217;amplitudes diff\u00e9rentes, c&#8217;est \u00e0 dire: $A\\cos(\\omega_1 t)+B\\cos(\\omega_2 t)$ avec $A\\ne B$.<\/li><li>Elle n&#8217;a en r\u00e9alit\u00e9 pas la forme Amplitude$\\times$Oscillation, car une amplitude est une fonction non-n\u00e9gative. L&#8217;interpr\u00e9tation visuelle de cette d\u00e9composition est d&#8217;ailleurs plut\u00f4t comme $$|\\cos(\\Omega t)|\\times\\mbox{sign}(\\cos(\\Omega t))\\cos(\\overline\\omega t)~.$$ Remarquez que la fr\u00e9quence de $|\\cos(\\Omega t)|$ est $2\\Omega$!<\/li><li>Ces formules trigonom\u00e9triques sont des identit\u00e9s exactes, donc valables aussi bien pour des petites diff\u00e9rences $\\omega_1-\\omega_2$ que des grandes diff\u00e9rences (deux notes diff\u00e9rentes). Il semblerait donc que l&#8217;addition d&#8217;un <em>Do<\/em> (262 Hz) et d&#8217;un <em>Sol<\/em> (393 Hz) serait alors un <em>Mi <\/em>(327.5 Hz) avec un battement \u00e0 65.5 Hz (trop rapide pour \u00eatre entendu). Ceci n&#8217;est musicalement pas vrai: on n&#8217;entend pas <em>Mi<\/em>, mais bien <em>Do<\/em>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>On trouve fr\u00e9quemment dans la litt\u00e9rature la formule trigonom\u00e9trique suivante pour expliquer le ph\u00e9nom\u00e8ne des battements: $$\\cos(\\omega_1 t)+\\cos(\\omega_2 t)=2\\cos(\\frac{\\omega_1-\\omega_2}2 t)\\cos(\\frac{\\omega_1+\\omega_2}2t)~,$$ avec l&#8217;interpr\u00e9tation que le premier facteur est l&#8217;&#8221;amplitude&#8221; du battement (de fr\u00e9quence $\\Omega=(\\omega_1-\\omega_2)\/2$) qui module l&#8217;oscillation (le second facteur) de fr\u00e9quence $\\overline\\omega=(\\omega_1+\\omega_2)\/2$). 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