On trouve fréquemment dans la littérature la formule trigonométrique suivante pour expliquer le phénomène des battements: $$\cos(\omega_1 t)+\cos(\omega_2 t)=2\cos(\frac{\omega_1-\omega_2}2 t)\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}2t)~,$$ avec l’interprétation que le premier facteur est l'”amplitude” du battement (de fréquence $\Omega=(\omega_1-\omega_2)/2$) qui module l’oscillation (le second facteur) de fréquence $\overline\omega=(\omega_1+\omega_2)/2$).

Cette formule est bien entendu mathématiquement correcte, mais pose un certain nombre de problèmes dans son interprétation:

• Il n’y a aucune généralisation naturelle de cette formule à la somme de deux ondes d’amplitudes différentes, c’est à dire: $A\cos(\omega_1 t)+B\cos(\omega_2 t)$ avec $A\ne B$.
• Elle n’a en réalité pas la forme Amplitude$\times$Oscillation, car une amplitude est une fonction non-négative. L’interprétation visuelle de cette décomposition est d’ailleurs plutôt comme $$|\cos(\Omega t)|\times\mbox{sign}(\cos(\Omega t))\cos(\overline\omega t)~.$$ Remarquez que la fréquence de $|\cos(\Omega t)|$ est $2\Omega$!
• Ces formules trigonométriques sont des identités exactes, donc valables aussi bien pour des petites différences $\omega_1-\omega_2$ que des grandes différences (deux notes différentes). Il semblerait donc que l’addition d’un Do (262 Hz) et d’un Sol (393 Hz) serait alors un Mi (327.5 Hz) avec un battement à 65.5 Hz (trop rapide pour être entendu). Ceci n’est musicalement pas vrai: on n’entend pas Mi, mais bien Do.

Une onde sonore de hauteur mélodique définie est une fonction périodique du temps $t$, correspondant à un spectre $\{\alpha_n\,:\,n=1,2,\dots\}$ sur une fréquence fondamentale $\omega$:
$$\phi_\omega(t)\,=\,\alpha_0+\sum_{n=1,2,\dots}\alpha_n\cos\bigl(2\pi n\omega (t-\tau_n)\bigr)~.$$
La suite des fréquences apparaissant dans cette formule s’appelle la série harmonique: les fréquences ${\omega, 2\omega, 3\omega, 4\omega, \dots}$ se nomment la fondamentale ($n=1$), la première harmonique ($n=2$), la deuxième harmonique ($n=3$), etc. On peut donc identifier chacune des composantes de l’onde à une note supplémentaire comme dans la Figure 1.

C’est la fondamentale $\omega$ qui donne son nom à la note de musique, par exemple on appellera n’importe quelle onde sonore de fréquence fondamentale $\omega=440$ [Hz] un la, quels que soient les coefficients de la série. Deux notes dont les fondamentales sont dans un rapport de $2$ ($\omega_2=2\cdot\omega_1$) forment une octave et portent le même nom. Ainsi les notes $\omega = 110, 220, 440, 880$ [Hz] sont toutes des la. Remarquez que la série harmonique de la$=880$ [Hz] est entièrement contenue dans la série harmonique de la$=440$ [Hz], de même que pour les harmoniques de n’importe quelle autre note de la série (par exemple mi$=1320$ [Hz] ou do♯$=2200$ [Hz]). Toutefois, ces notes seraient considérées comme “fausses” dans un tempérament égal (qui prescrit mi$=1318.51$ [Hz], do♯$=2217.46$ [Hz]).