La composition mélodique exploite fréquemment des relations de symétrie telles que la répétition d’un même motif sous forme inversée ou translatée. Une gamme mélodique doit donc permettre ces transformations. La plus simple des transformations est le décalage d’une octave qui sera sans conséquence sur la mélodie, donc une gamme doit être vue comme un ensemble infini:
$$
\mathcal{S}\,=\,2^\mathbb{Z}\times\{1,\dots,f_{n-1}\}~ .
$$
De plus il est souhaitable de pouvoir construire un motif mélodique similaire à partir de chaque note de la gamme, et de pouvoir l’inverser (remplacer les intervalles montants par l’équivalent descendant). On peut résumer en disant qu’une gamme idéalement symétrique satisfait:
\begin{alignat*}{2}
\mathcal{S}&=\,f_k\cdot\mathcal{S}\qquad&\textit{(transposition)}~,\\
\mathcal{S}&=\,1\bigl/\mathcal{S}\qquad&\textit{(inversion)}~.
\end{alignat*}
On transforme en unités logarithmiques ($\log_2$):
$$
\mathcal{T}\,=\,{0,g_1,\dots,g_{n-1}}+\mathbb{Z}~ ,\quad g_k\,=\,\log_2f_k~,
$$
et l’on voit que pour satisfaire les symétries de transposition et d’inversion, les fréquences logarithmiques $g_k$ doivent être équidistantes, autrement dit $g_k=k/n$ (comme par exemple les demi-tons tempérés pour $n=12$) [Tymoczko (2012), Callender (2008)].

La distinction entre l’ensemble de toutes les notes disponibles (la gamme chromatique) et la gamme particulière (par exemple une gamme diatonique) est importante: la gamme chromatique possède les symétries ci-dessus, ce qui implique que l’on peut, par exemple transposer une gamme dans tous les tons. Mais il est également souhaitable que la gamme diatonique elle-même possède des symétries partielles et ainsi offrir la possibilité de transposer et inverser des motifs à l’intérieur même de la gamme (sans modulation).

Notre indice de mélodicité est donc défini comme l’écart moyen à la distribution équidistante:
$$
\mathcal{M}(f_1,\dots,f_{n-1})\,=\,\frac 1{n-1}
\sum_{k=1}^{n-1}\left|n\log_2(f_k/f_{k-1})-1\right|~ .
$$