La Figure 1 représente plusieurs gammes de 5 à 8 notes sur le plan $\mathcal{H}-\mathcal{M}$ (harmonicité et mélodicité, voir également McBride (2020)). Le nuage en arrière-plan est un ensemble de gammes contenant en particulier tous les sous-ensembles de 5 à 8 notes parmi les 12 demi-tons ainsi que plus de 8000 choix de fréquences aléatoires.

J’ai mis en évidence au premier plan les gammes suivantes:

On voit que la plupart des gammes traditionnelles sont dans le coin inférieur gauche du graphique, combinant donc une bonne harmonicité et une bonne mélodicité. Toutefois, certaines différences peuvent être relevées: les gammes pentatoniques sont en général plus harmoniques que les heptatoniques. Comme prévu la gamme mineure “mélodique” et plus mélodique que les autres et la mineure “harmonique” est plus harmonique. La gamme par tons est parfaitement mélodique mais peu harmonique, les gammes napolitaines sont très mélodiques, la gamme “pelog” du gamelan indonésien est très anharmonique (c’est adapté à l’instrumentarium, voir Braun (2002) et la gamme “indienne” (un exemple parmi d’autres) est mieux optimisée que les gammes occidentales, grâce à un système d’accordage complexe, cf. Konar (2019).

Cette analyse souffre toutefois d’un défaut: la Figure1 est assez sensible à la tolérance $\epsilon$ de l’indice d’harmonicité. Il était ici fixé à $15$ cents, ce qui exclut la sixte majeure juste des intervalles “atteignables”, mais inclut la tierce majeure juste. La position relative des gammes étudiées peut changer nettement selon que ces deux intervalles (ou d’autres) sont exclus ou pas.